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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{24-行空间-列空间-矩阵的秩 }
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年12月15日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  矩阵的行空间与行秩
\item  矩阵的列空间与列秩
\item  矩阵的行列式秩

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.1. 矩阵的行空间与行秩}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：矩阵的行空间是它的行向量组线性张成的子空间。}
\item 定义的具体描述：设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，将 $A$ 按行分块，设有
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \cdots \\ \alpha_m \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
}
则矩阵 $A$ 的行空间是 $L(\alpha_1, \cdots, \alpha_m)$, 它是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。

\vspace{0.3cm}

\item {\color{red}定义：矩阵的行秩是它的行向量组的秩。}

\vspace{0.3cm}

%\item  按照定义，
\begin{tabular}{rcl}
矩阵的行秩 &=& 行向量组的秩 \\ 
&=& 行向量组的极大线性无关组所包含的向量个数  \\ 
&=& 行空间的维数 \\ 
\end{tabular}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.2. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  例子1：设矩阵 $A$ 如下，求它的行空间与行秩，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&3&4 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item 解答：
\begin{enumerate}

\item 矩阵 $A$ 的行向量组为 $\{(1,2,3),\, (2,3,4)\}$. 
\item 矩阵 $A$ 的行空间为 $L(\, (1,2,3),\, (2,3,4)\,)$, 即由这两个向量通过线性组合得到的所有向量形成的集合。 这是 $\mathbb{R}^3$ 中的一个过原点的平面。
\item 因为行向量组线性无关，所以这个行向量组就是它自己的一个极大线性无关组，所以矩阵 $A$ 的行秩为2. 

\end{enumerate}
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.3. 矩阵的列空间与列秩}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：矩阵的列空间是它的列向量组线性张成的子空间。}
\item 定义的具体描述：设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，将 $A$ 按列分块，设有
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots& &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
}
则矩阵 $A$ 的列空间是 $L(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)$, 它是 $\mathbb{R}^m$ 的一个子空间。

\vspace{0.3cm}

\item {\color{red}定义：矩阵的列秩是它的列向量组的秩。}

\vspace{0.3cm}

%\item  按照定义，
\begin{tabular}{rcl}
矩阵的列秩 &=& 列向量组的秩 \\ 
&=& 列向量组的极大线性无关组所包含的向量个数  \\ 
&=& 列空间的维数 \\ 
\end{tabular}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.4. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  例子2：设矩阵 $A$ 如下，求它的列空间与列秩，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&3&4 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\vspace{-0.5cm}

\item 解答：
\begin{enumerate}

\item 矩阵 $A$ 的列向量组为 $\{\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix} \}$. 
\item 矩阵 $A$ 的列空间为 $L(\, \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix} \,)$, 它等于 $\mathbb{R}^2$, 它的维数是2. 
\item 因为 $\{\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix} \}$ 是这个列向量组 $\{\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix} \}$ 的一个极大线性无关组，它包含2个向量，所以矩阵 $A$ 的列秩为2. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.5. 矩阵的行列式秩 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red}定义：矩阵的秩，也称行列式秩，是这个矩阵的所有子式中，取值不为零的子式的最高阶数。即，若这个矩阵中存在 $r$ 阶子式取值不为零，同时所有 $r+1$ 阶子式的值都等于零，则这个矩阵的行列式秩是 $r$. }

\vspace{0.3cm}

\item  例子3：设矩阵 $A$ 如下，求它的行列式秩，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&5 \\ 3&4&5&6 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
\item  解答：这个矩阵是 $3\times 4$ 阶的。首先看三阶子式。计算可知，四个三阶子式的值都等于零。然后再看二阶子式。可见第1、2行与第1、2列所在的二阶子式 {\footnotesize $\begin{vmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{vmatrix}=-1\neq 0$}. 所以这个矩阵的行列式秩等于2.  

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.6. 行（列）初等变换不改变行（列）空间 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red}定理：设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵。设 $P$ 与 $Q$ 分别是 $m$ 阶与 $n$ 阶可逆矩阵。则 $PA$ 与 $A$ 有相同的行空间，$AQ$  与 $A$ 有相同的列空间。}

\vspace{0.5cm}

\item 证明：以 $2\times 3$ 阶为例。将矩阵 $A$ 与 $B=PA$ 分别按行向量分块，设  
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}, 
\hspace{0.5cm} 
B = \begin{pmatrix} a_3 & b_3 & c_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}.  
\end{eqnarray*}
}
设可逆矩阵 $P$ 与 $P^{-1}$ 分别为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
P = \begin{pmatrix} p & r  \\  s & t \end{pmatrix}, 
\hspace{0.5cm} 
P^{-1} = \begin{pmatrix} u & v  \\  x & y \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.7.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容


\begin{itemize}

\item 证明（续）：

\begin{enumerate}

\item  由 $PA=B$ 可得 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
PA = 
\begin{pmatrix} p & r  \\  s & t \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} p & r  \\  s & t \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} p\alpha_1+r\alpha_2 \\ s\alpha_1+t\alpha_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=B. 
\end{eqnarray*}
}
因此矩阵 $B$ 的行空间 $L(\beta_1,\beta_2)$ 是矩阵 $A$ 的行空间 $L(\alpha_1, \alpha_2)$ 的子集。

\vspace{0.3cm}

\item  由 $P^{-1}B=A$ 可得  
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A = 
\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}
=
P^{-1}B
=
\begin{pmatrix} u & v  \\  x & y \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}
=  
\begin{pmatrix} u\beta_1+v\beta_2 \\ x\beta_1+y\beta_2  \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
}
因此矩阵 $A$ 的行空间 $L(\alpha_1, \alpha_2)$ 是矩阵 $B$ 的行空间 $L(\beta_1,\beta_2)$ 的子集。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.8. 矩阵的三种秩是相等的 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定理：一个矩阵的行秩、列秩、行列式秩这三个数是相等的。}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  根据相抵标准形定理，存在可逆矩阵 $P$ 与 $Q$ 使得 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
PAQ=\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}=B.
\end{eqnarray*}
}  
\item  因为矩阵的初等变换不改变行列式秩，所以矩阵 $A$ 的行列式秩为 $r$. 
\item  计算可知矩阵 $PA=BQ^{-1}$ 的行空间由矩阵 $Q^{-1}$ 的前 $r$ 行线性张成。
\item  因为矩阵 $Q^{-1}$ 的行向量组是线性无关的，所以矩阵 $BQ^{-1}$ 的行秩为 $r$. 
\item  因为矩阵 $A$ 与 $PA$ 有相同的行空间，所以矩阵 $A$ 的行秩为 $r$. 
\item  类似地，从 $AQ=P^{-1}B$ 可得矩阵 $A$ 的列秩也为 $r$. 

\end{enumerate}


%\begin{enumerate}
%\item 对矩阵进行行初等变换不改变这个矩阵的列向量组的线性关系。
%\item 对矩阵进行行初等变换不改变这个矩阵的列秩。
%\item 又根据以前所证，对矩阵进行行初等变换不改变这个矩阵的行列式秩。
%\item 所以一个矩阵的列秩等于行列式秩。
%\item 因为一个矩阵的转置不改变行列式秩，所以行秩也等于行列式秩。
%\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.9. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}


\item  例子4：用行初等变换，求出矩阵 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关组，并将其余列向量用这个极大线性无关组来表示，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&5 \\ 3&4&5&6 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\vspace{-0.2cm}

\item  解答：将矩阵 $A$ 用行初等变换化为行最简形，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&5 \\ 3&4&5&6 \end{pmatrix}
% \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ k_4 \end{pmatrix}
% = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
% \Leftrightarrow 
\xrightarrow[]{\text{行初等变换}}
%\longrightarrow 
 \begin{pmatrix} 1&0&-1&-2 \\ 0&1&2&3 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}=RREF(A). 
% \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ k_4 \end{pmatrix}
% = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
}
由此可知 $\{\beta_1,\beta_2\}$ 是 $\{\beta_1,\beta_2, \beta_3,\beta_4\}$ 的一个极大线性无关组。而且 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\beta_3=-\beta_1+2\beta_2,\,\,\, \beta_4=-2\beta_1+3\beta_2. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.10. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子5：证明行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。
\item 证明：

\begin{enumerate}
\item 一次行初等变换相当于左乘一个初等矩阵。
\item 对矩阵 $A$ 进行若干次行初等变换相当于左乘一个可逆矩阵 $P$, 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A = (\beta_1, \cdots, \beta_n) 
%\rightarrow 
\xrightarrow[]{\text{行初等变换}}
PA = (P\beta_1, \cdots, P\beta_n), 
\end{eqnarray*}
}
这里将矩阵 $A$ 写成按列向量分块的形式。

\item 对列向量 $\beta$ 左乘一个可逆矩阵 $\beta\mapsto P\beta$ 是 $\mathbb{R}^m$ 到自身的一个同构。
\item 等式 $k_1\beta_1+\cdots+k_n\beta_n=0$ 当且仅当等式 $k_1P\beta_1+\cdots+k_nP\beta_n=0$. 
\item 记 $K=(k_1,\cdots,k_n)^t$, 等式 $AK=0$ 当且仅当等式 $PAK=0$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.11. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，设可逆矩阵 $P$ 与 $Q$ 使得 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
PAQ=\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}=B.
\end{eqnarray*}
}  
从 $AQ=P^{-1}B$ 证明矩阵 $A$ 的列秩为 $r$. 

\item  设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的行列式的值不为零。按定义证明矩阵 $A$ 的行秩为 $n$. 


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{24.12. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  解答思路：矩阵 $A$ 与 $AQ$ 有相同的列空间。计算矩阵 $P^{-1}B$ 的列空间。

\item  解答思路：证明矩阵 $A$ 的行向量组是线性无关的。


\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

